Ganz besondere und seltene Zahlen sind solche, deren Teiler addiert

genau sie selbst ergeben – dies sind die vollkommenen Zahlen.

Die 6 hat die Teiler 1, 2 und 3 und ist daher eine vollkommene Zahl,

denn 1 + 2 + 3 = 6. Die nächste vollkommene Zahl ist 28, denn

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

1:6

2:28

3:496

4:8128

5:33550336

6:8589 869056

 

Pythagoras stellte fest, dass sie nicht nur die Summe ihrer Teiler bilden,

sondern noch mehrere andere elegante Eigenschaften aufweisen.

So sind die vollkommenen Zahlen immer eine Summe aufeinanderfolgender

Zahlen. Zum Beispiel:

6 = 1 + 2 + 3,

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7,

496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 30 + 31,

8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 126 + 127.

 

 

Zwei Jahrhunderte später arbeitete Euklid die von Pythagoras entdeckte

Verknüpfung zwischen Zweiheit und Vollkommenheit

noch deutlicher heraus. Er entdeckte an den vollkommenen Zahlen,

daß sie immer das Produkt zweier Zahlen sind, die eine davon

eine Potenz der Zahl Zwei, die andere die jeweils nächsthöhere

Zweierpotenz minus eins. Das heißt:

6 = 21 ´ (22 – 1),

28 = 22 ´ (23 – 1),

496 = 24 ´ (25 – 1),

8 128 = 26 ´ (27 – 1).

Vollkommene Zahlen

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