Schwarze Löcher sind Stellen im Weltall, wo sterbende Sterne zu einem kleinen Volumen mit extrem hoher Materiedichte kollabiert sind. Wie immer man sich einem solchen Orte näherte – die Schwerkraft zöge einen rettungslos hinein ins schwarze Loch.

Solche schwarzen Löcher gibt es auch in der Mathematik.

Man nehme irgendeine grössere Zahl, zum Beispiel 552 582 860, und schreibe die Anzahl gerader, ungerader sowie die gesamte Anzahl der einzelnen Ziffern hintereinander, hier also 639. Nun mache man mit dieser neuen Zahl das gleiche, was jetzt 123 ergibt. 123 führt wiederum zu 123 (einmal gerade, zweimal ungerade und total drei). Welche (mindestens dreistellige)Zahl man immer wählt, am Schluss der Reihe endet man unweigerlich im «schwarzen L,och» 123.

 

Warum? Selbst beim längsten Ziffernwurm führt die Rechnerei am Ende zu einer Zahl unter 1000, also zu irgendeiner dreistelligen Zahl. Dann gibt es für die Ziffernverteilung (gerade, ungerade, total) nur vier Möglichkeiten: 033:123,213,503. Und alle diese Varianten haben eine gerade, zwei ungerade und insgesamt drei Ziffern, also 123.

 

Um die Kaprekar-Konstante einer drei-, vier-, sechs-, acht-, neun- oder zehnstelligen Dezimalzahl, bei der nicht alle Ziffern gleich sind, zu erhalten, ordne man die Ziffern der betreffenden Zahl (ggf. mit führenden Nullen) einmal so, dass die größtmögliche Zahl entsteht, und dann so, dass die kleinstmögliche Zahl entsteht. Dann bildet man durch Subtraktion die Differenz und wendet das Verfahren auf das Resultat erneut an. Nach endlich vielen Schritten erhält man – unabhängig von der Ausgangszahl – eine bestimmte Zahl. Diese Zahl heißt Kaprekar-Konstante ), die nach dem indischen Mathematiker D.R. Kaprekar (1905–1986) benannt wurde, der diese Eigenschaft im Jahr 1949 zuerst für vierstellige Zahlen fand.

Dreistellige Kaprekar-Konstante

Die Kaprekar-Konstante für dreistellige Zahlen beträgt stets 495. Beispiel:

Ausgangszahl:

734

743-347=396

963-369=594

954-459=495

 

Vierstellige Kaprekar-Konstante

Die Kaprekar-Konstante für vierstellige Zahlen beträgt stets 6174. Beispiel:

Ausgangszahl:

4783

8743-3478=5265

6552-2556=3996

9963-3699=6264

6642-2466=4176

7641-1467=6174

 

Weitere Beispiele

  • Für zwei-, fünf- und siebenstellige Zahlen gibt es keine Kaprekar-Konstanten. Bei zweistelligen Zahlen führt das beschriebene Verfahren zu folgendem Zyklus: 9 → 81 → 63 → 27 → 45 → 9
  • Für sechs-, acht- und neunstellige gibt es jeweils zwei Kaprekar-Konstanten, die bei dem geschilderten Verfahren alternativ erreicht werden:
    • für sechsstellige Zahlen: 549945, 631764
    • für achtstellige Zahlen: 63317664, 97508421
    • für neunstellige Zahlen: 554999445, 864197532
  • Für zehnstellige Zahlen gibt es 3 Kaprekar-Konstanten: 6333176664, 9753086421, 9975084201

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Kaprekar-Konstante

Schwärze Zahlenlöcher Kaprekar-Konstante

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