Auf Hubert geht das als Hilberts Hotel bezeichnete Gedankenexperiment
zurück, das die merkwürdigen Eigenschaften
des Unendlichen gut veranschaulicht. Dieses Hotel hat den Vorzug,
unendlich viele Zimmer zu haben. Eines Tages kommt ein
neuer Gast an und muss zu seiner Enttäuschung erfahren, dass trotz
der unendlichen Größe des Hotels alle Zimmer belegt sind. Hilbert,
der Empfangschef, denkt eine Weile nach und versichert dem
Neuankömmling schließlich, er werde ein freies Zimmer finden.

Er bittet alle schon anwesenden Gäste, in das nächste Zimmer zu ziehen,
so dass der Gast in Zimmer 1 in Zimmer 2 umzieht, der Gast in
Zimmer 2 in Zimmer 3 und so weiter. Alle, die schon im Hotel waren,
haben weiterhin ein Zimmer, und der neue Gast kann ins leere
Zimmer 1 einziehen.
Am Abend darauf muss Hubert mit einem viel größeren Problem
fertig werden. Das Hotel ist immer noch voll, als ein unendlich
großer Bus mit unendlich vielen neuen Gästen vorfährt. Hilbert
bewahrt ruhig Blut und reibt sich die Hände bei dein
Gedanken an unendlich viele Hotelrechnungen. Er bittet alle schon
einquartierten Gäste, in das Zimmer umzuziehen, dessen Nummer
doppelt so groß ist wie die ihres gegenwärtigen Zimmers. Der Gast
in Zimmer 1 zieht also in Zimmer 2, der Gast in Zimmer 2 in Zimmer
4, und so weiter. Alle Hotelgäste haben auch weiterhin Zimmer,
und doch sind unendlich viele Zimmer – all jene mit ungeraden
Nummern – für die neuen Gäste frei geworden.
Huberts Hotel legt die Vorstellung nahe, alle Unendlichkeiten
seien gleich groß, weil verschiedene Unendlichkeiten offenbar im
selben Hotel Platz finden können – die Unendlichkeit der geraden
Zahlen kann der Unendlichkeit der natürlichen Zahlen gegenübergestellt
und mit ihr verglichen werden. Allerdings sind bestimmte
Unendlichkeiten tatsächlich größer als andere. So ist der Versuch,
die rationalen und die irrationalen Zahlen einander paarweise zuzuordnen,
zum Scheitern verurteilt, und tatsächlich kann gezeigt
werden, dass die unendliche Menge der irrationalen Zahlen größer
ist als die unendliche Menge der rationalen Zahlen. Die Mathematiker
mussten ein ganz eigenes Begriffssystem entwickeln, um mit
den verschieden großen Unendlichkeiten zurechtzukommen, und
die Zauberei mit diesen Begriffen ist in der Mathematik gegenwärtig
eine brandheiße Sache.

 

Hilberts Hotel, oder wie gross ist Unendlich
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Ein Kommentar zu „Hilberts Hotel, oder wie gross ist Unendlich

  • 28. Januar 2021 um 18:48
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    ..die Unendlichkeit ist nicht erweiterbar…jedes freie Zimmer wird sofort von einem der unendlichen vielen anwesenden Gästen belegt..

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