Zu den Entdeckungen Fermats gehören die sogenannten befreundeten

Zahlen, die eng mit den vollkommenen Zahlen verwandt

sind, die Pythagoras zwei Jahrtausende zuvor begeistert hatten.

Befreundet nennt man Paare von Zahlen, welche die Summe

der Teiler der jeweils anderen Zahl darstellen. Die Pythagoreer machten die erstaunliche Entdeckung, daß 220 und 284 befreundete

Zahlen sind. Die Teiler von 220 sind 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44,

55 und 110, ihre Summe ist 284. Die Teiler von 284 wiederum sind

1, 2, 3, 4, 71 und 142, ihre Summe ist 220.

Das Paar 220 und 284 wurde zum Symbol der Freundschaft.

Martin Gardner berichtet in seinem Buch Mathematische Hexereien,

im Mittelalter seien Amulette mit diesen Zahlen verkauft

worden, die, als Talismane getragen, Glück in der Liebe bringen

sollten. Ein arabischer Numerologe berichtet von dem Brauch,

zwei Früchte zu nehmen, 220 in die eine und 284 in die andere

zu ritzen, dann die erste zu verspeisen und die zweite der Liebsten

als eine Art mathematisches Aphrodisiakum zu überreichen. Den

frühen Theologen fiel in der biblischen Genesis auf, daß Jakob

Esau 220 Tiere schenkt. Sie glaubten, diese Zahl, die eine Hälfte

des befreundeten Zahlenpaars, sei Ausdruck für Jakobs Liebe zu

Esau.

Keine weiteren befreundeten Zahlen wurden gefunden, bis Fermat

im Jahr 1636 das Paar 17296 und 18416 entdeckte. Dies mag

nichts Weltbewegendes sein, doch zeigt sich hier, wie vertraut Fermat

mit den Zahlen war und wie leidenschaftlich er mit ihnen spielte.

Durch Fermat wurde es zu einer Mode, befreundete Zahlen zu

suchen: Descartes entdeckte ein drittes Paar (9363 584 und

9437 056), und Leonhard Euler fügte der Liste weitere zweiundsechzig

befreundete Paare hinzu. Seltsamerweise hatten sie alle ein

viel kleineres Paar übersehen. 1866 entdeckte der sechzehnjährige

Italiener Niccolò Paganini das befreundete Zahlenpaar 1184 und

1210.

Im zwanzigsten Jahrhundert entwickelten die Mathematiker

diesen Gedanken weiter und suchten nach sogenannten »geselligen

« Zahlen, vier oder mehr Zahlen, die eine geschlossene Kette

bilden. Zum Beispiel ist bei dem Quartett 1264460, 1 547860,

1727 636, 1305 184 die Summe der Teiler der ersten Zahl gleich

der zweiten Zahl, die Teiler der zweiten wiederum addieren sich

zur dritten Zahl und die Teiler der dritten zur ersten Zahl. Die

längste heute bekannte gesellige Kette besteht aus 28 Zahlen und

beginnt mit der 14 316.