Welches ist die kleinste Anzahl von Gewichten, mit denen jedes ganzzahlige Gewicht von 1 bis 40 Kilo auf einer Waage gemessen werden kann?

Um ein beliebiges ganzzahliges Gewicht von 1 bis 40 Kilogramm wiegen zu können, werden die meisten vermuten, braucht man sechs Gewichte: 1, 2, 4, 8, 16, 32 kg. Damit können auf einfache Weise alle Gewichte zusammengestellt werden, indem man die folgenden Gewichte einzeln oder zusammen auf die Waagschale legt:

1 kg = 1,

2 kg = 2,

3 kg = 2 + 1,

4 kg = 4,

5 kg = 4 + 1,

40 kg = 32 + 8.

Wenn jedoch Gewichte in beiden Waagschalen zugelassen sind, also auch neben dem zu wiegenden Gegenstand, kann man, wie Bachet, mit nur vier Gewichten auskommen: 1, 3, 9, 27 kg. Ein Gewicht in derselben Waagschale wie der gewogene Gegenstand nimmt praktisch einen negativen Wert an. Die Gewichte können somit folgendermaßen zusammengestellt werden:

1 kg = 1,

2 kg = 3 – 1,

3 kg = 3,

4 kg = 3 + 1,

5 kg = 9 – 3 – 1, …

40 kg = 27 + 9 + 3 +1.

Quelle: Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels von Simon Singh

Bachets Wiegeproblem

3 Kommentare zu „Bachets Wiegeproblem

  • 23. August 2021 um 22:09
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    Die Obergrenze von 40 kg ist ungeschickt gewählt. Denn mit vier Gewichten (54, 18, 6 und 2) lassen sich alle Gewichte von 1 bis und mit 81 (!) auf einer Balkenwaage wägen.

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  • 11. April 2022 um 13:42
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    Tatsächlich? Wie wiegt man eine Masse von einem Kilo mit einer unteilbaren Mindestreferenz von zwei Kilo?

    Alle Kombinationen der Gewichte 54, 18, 6, 2 kg führen immer zu einem geraden Ergebnis!

    Die Reihe 27, 9, 3, 1 deckte jedoch gerade und ungerade Werte ab. Oben wurde gezeigt, dass das mühelos funktioniert … von 1 bis 40. Von daher betrachtet ist die Wahl der Gewichte schon ziemlich geschickt!

    Da die von ihnen vorgeschlagene Reihe die ursprüngliche Reihe mit zwei multipliziert ergibt, vergrößert sich auch der Abstand zwischen den einstellbaren Gewichten auf zwei, d.h. von 0 bis 80 kg ist die Reihe 2, 4, 6, 8, 12 …. 80. Jetzt sieht man es deutlich: Es fehlt ein Gewicht, nämlich das 1 kg Gewicht. Dann erst kann man alle Massen von 1 bis (dann auch bis) 81 kg wiegen!

    Trotzdem ist die Überlegung ziemlich clever, doch will man auch die ungeraden “Zwischenwerte” erreichen, braucht man fünf Gewichte: 54, 16, 6, 2 und 1 kg.

    Schlussfolgerung: Um alle ganzzahligen Werte als Zahlen zur Basis n darzustellen braucht man zwingend n^0 = 1!

    Die gleiche falsche Schlussfolgerung habe ich in den Übungen zu ein einem wirklich empfehlenswerten Mathebuch gefunden: Konkrete Mathematik (nicht nur) für Informatiker, Edmund Weitz, 2021, Berlin.

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    • 5. November 2022 um 1:18
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      @Klaus:
      Es reicht, die geraden Massen wiegen zu können, denn bei der Aufgabe wird eine BALKENWAAGE verwendet! Wenn die gesuchte Masse z.B schwerer ist als 14kg und leichter als 16kg dann muss die gesuchte Masse 15kg sein 🙂

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