Auch wenn Fermat durch die Entdeckung eines neuen Paares
befreundeter Zahlen eine gewisse Berühmtheit erlangte, sein Ruf
festigte sich erst wirklich durch eine Reihe mathematischer Glanzleistungen.
So stellte er zum Beispiel fest, dass die 26, zwischen der
25 und der 27 liegend, eingebettet ist zwischen eine Quadratzahl
“(25 = 5 x5)” und eine Kubikzahl “(27 = 3 x3x 3)”.
Er suchte nach weiteren auf diese Weise eingebetteten Zahlen, fand jedoch
keine, und vermutete, die 26 sei die einzige. Nach tagelangen Mühen
gelang es ihm, mit einem anspruchsvollen Argument unumstößlich
zu beweisen, dass die 26 tatsächlich die einzige Zahl zwischen
einer Quadratzahl und einer Kubikzahl ist. Sein Schritt für
Schritt ausgeführter Beweis bestätigte, dass dieses Kriterium auf
keine andere Zahl zutreffen kann